Что такое эффективная ставка по вкладу. Формула и примеры расчёта

Рассчитаем в MS EXCEL эффективную годовую процентную ставку и эффективную ставку по кредиту.

Эффективная ставка возникает, когда имеют место .
Понятие эффективная ставка встречается в нескольких определениях. Например, есть Эффективная (фактическая) годовая процентная ставка, есть Эффективная ставка по вкладу (с учетом капитализации), есть Эффективная процентная ставка по потребительским кредитам . Разберемся, что эти ставки из себя представляют и как их рассчитать в MS EXCEL.

Эффективная (фактическая) годовая процентная ставка

В MS EXCEL есть функция ЭФФЕКТ(номинальная_ставка, кол_пер), которая возвращает эффективную (фактическую) годовую процентную ставку, если заданы номинальная годовая процентная ставка и количество периодов в году , в которые начисляются сложные проценты. Под номинальной ставкой здесь понимается, годовая ставка, которая прописывается, например, в договоре на открытие вклада.
Предположим, что начисляются m раз в год. Эффективная годовая процентная ставка дает возможность увидеть, какая годовая ставка позволит достичь такого же финансового результата, что и m-разовое наращение в год по ставке i/m, где i – номинальная ставка.
При сроке контракта 1 год по имеем:
S = Р*(1+i/m)^m – для сложных процентов, где Р – начальная сумма вклада.
S = Р*(1+iэфф) – для простых процентов

Так как финансовый результат S должен быть, по определению, одинаков для обоих случаев, приравниваем оба уравнения и после преобразования получим формулу, приведенную в справке MS EXCEL для функции ЭФФЕКТ()
iэфф =((1+i/m)^m)-1

Примечание . Если задана эффективная годовая процентная ставка, то величина соответствующей ей годовой номинальной процентной ставки рассчитывается по формуле

или с помощью функции НОМИНАЛ(эффективная_ставка, кол_периодов). См. файл примера .

Эффективная ставка по вкладу

Если договор вклада длится, скажем, 3 года, с ежемесячным начислением по сложным процентам по ставке i, то Эффективная ставка по вкладу вычисляется по формуле:
iэфф =((1+i/12)^(12*3)-1)*(1/3)
или через функцию ЭФФЕКТ(): iэфф= ЭФФЕКТ(i*3;3*12)/3
Для вывода формулы справедливы те же рассуждения, что и для годовой ставки:
S = Р*(1+i/m)^(3*m) – для сложных процентов, где Р – начальная сумма вклада.
S = 3*Р*(1+iэфф) – для простых процентов (ежегодной капитализации не происходит, проценты начисляются раз в год (всего 3 раза) всегда на первоначальную сумму вклада).
Если срок вклада =1 году, то Эффективная ставка по вкладу = Эффективной (фактической) годовой процентной ставке (См. файл примера ).

Эффективная процентная ставка по потребительским кредитам

Эффективная ставка по вкладу и Эффективная годовая ставка используются чаще всего для сравнения доходности вкладов в различных банках. Несколько иной смысл закладывается при расчете Эффективной ставки по кредитам, прежде всего по потребительским. Эффективная процентная ставка по кредитам используется для сравнения различные кредитных предложений банков.
Эффективная процентная ставка по кредиту отражает реальную стоимость кредита с точки зрения заёмщика, то есть учитывает все дополнительные выплаты, непосредственно связанные с кредитом (помимо платежей по самому кредиту). Такими дополнительными выплатами являются банковские комиссии - комиссии за открытие и ведение счёта, за приём в кассу наличных денег и т.п., а также страховые выплаты.
По закону банк обязан прописывать в договоре эффективную ставку по кредиту. Но дело в том, что заемщик сразу не видит кредитного договора и поэтому делает свой выбор, ориентируясь лишь на номинальную ставку, указанную в рекламе банка.
Для создания расчетного файла в MS EXCEL воспользуемся Указаниями Центробанка РФ от 13 мая 2008 года № 2008-У «О порядке расчета и доведения до заемщика - физического лица полной стоимости кредита» (приведена Формула и порядок расчета эффективной процентной ставки), а также разъяснительным письмом ЦБ РФ № 175-Т от 26 декабря 2006 года, где можно найти примеры расчета эффективной ставки (см. здесь http://www.cbr.ru/publ/VesnSearch.aspx ).
Эффективную ставку по кредиту рассчитаем используя функцию ЧИСТВНДОХ() . Для этого нужно составить график платежей по кредиту и включить в него все дополнительные платежи.

Пример . Рассчитаем Эффективную ставку по кредиту со следующими условиями:
Сумма кредита - 250 тыс. руб., срок - 1 год, дата договора (выдачи кредита) – 17.04.2004, годовая ставка – 15%, число платежей в году по аннуитетной схеме – 12 (ежемесячно). Дополнительные расходы – 1,9% от суммы кредита ежемесячно, разовая комиссия – 3000р. при открытии банковского счета.

Сначала составим График платежей по кредиту с учетом дополнительных расходов (см. файл примера Лист Кредит ).
Затем сформируем Итоговый денежный поток заемщика (суммарные платежи на определенные даты).

Эффективную ставку по кредиту iэфф определим используя функцию ЧИСТВНДОХ (значения, даты, [предп]). В основе этой функции лежит формула:

Где, Pi = сумма i-й выплаты заемщиком; di = дата i-й выплаты; d1 = дата 1-й выплаты (начальная дата, на которую дисконтируются все суммы).

Учитывая, что значения итогового денежного потока находятся в диапазоне G22:G34 , а даты выплат в B22:B34 , Эффективная ставка по кредиту для нашего случая может быть вычислена по формуле =ЧИСТВНДОХ(G22:G34;B22:B34) . Получим 72,24%.
Значения Эффективных ставок используются при сравнении нескольких кредитов: чья ставка меньше, тот кредит и более выгоден заемщику.
Но, что за смысл имеет 72,24%? Может быть это соответствующая ставка по простым процентам? Рассчитаем ее как мы делали в предыдущих разделах:
Мы переплатили 80,77т.р. (в виде процентов и дополнительных платежей) взяв кредит в размере 250т.р. Если рассчитать ставку по методу простых процентов, то она составит 80,77/250*100%=32,3% (срок кредита =1 год). Это значительно больше 15% (ставка по кредиту), и гораздо меньше 72,24%. Значит, это не тот подход, чтобы разобраться в сути эффективной ставке по кредиту.
Теперь вспомним принцип временной стоимости денег: всем понятно, что 100т.р. сегодня – это значительно больше, чем 100т.р. через год при 15% инфляции (или, наоборот - значительно меньше, если имеется альтернатива положить эту сумму в банк под 15%). Для сравнения сумм, относящихся к разным временным периодам используют дисконтирование, т.е. . Вспомнив формулу Эффективной ставки по кредитам, увидим, что для всех платежей по кредитам рассчитывается их приведенная стоимость к моменту выдачи кредита. И, если мы хотим взять в 2-х банках одну и туже сумму, то стоит выбрать тот банк, в котором получается наименьшая приведенная стоимость всех наших платежей в погашение кредита. Почему же тогда не сравнивают более понятные приведенные стоимости, а используют Эффективную ставку? А для того, чтобы сравнивать разные суммы кредита: Эффективная ставка поможет, если в одном банке дают 250т.р. на одних условиях, а в другом 300т.р. на других.
Итак, у нас получилось, что сумма всех наших платежей в погашение основной суммы кредита дисконтированных по ставке 72,24% равна размеру кредита (это из определения эффективной ставки). Если в другом банке для соблюдения этого равенства потребуется дисконтировать суммы платежей идущих на обслуживание долга по бо льшей ставке, то условия кредитного договора в нем менее выгодны (суммы кредитов могут быть разными). Поэтому, получается, что важнее не само значение Эффективной ставки, а результат сравнения 2-х ставок (конечно, если эффективная ставка значительно превышает ставку по кредиту, то это означает, что имеется значительное количество дополнительных платежей: убрав файле расчета все дополнительные платежи получим эффективную ставку 16,04% вместо 72,24%!).

Примечание . Функция ЧИСТВНДОХ() похожа на ВСД() (используется для расчета ), в которой используется аналогичное дисконтирование регулярных платежей, но на основе номера периода выплаты, а не от количества дней.

Использование эффективной ставки для сравнения кредитных договоров с разными схемами погашения

Представим себе ситуацию, когда в 2-х разных банках нам предлагают взять в кредит одинаковую сумму на одинаковых условиях, но выплата кредита в одном будет осуществляться , а в другом по (равновеликими платежами). Для простоты предположим, что дополнительные платежи не взимаются. Зависит ли значение эффективной ставки от графика погашения? Сразу даем ответ: зависит, но незначительно.

В файле примера на листе Сравнение схем погашения (1год) приведен расчет для 2-х различных графиков погашения (сумма кредита 250 т.р., срок =1 год, выплаты производятся ежемесячно, ставка = 15%).

В случае дифференцированных платежей Эффективная ставка по кредиту = 16,243%, а в случае аннуитета – 16,238%. Разница незначительная, чтобы на ее основании принимать решение. Необходимо определиться какой график погашения больше Вам подходит.

При увеличении срока кредита разница между Эффективными ставками практически не изменяется (см. файл примера Лист Сравнение схем погашения (5лет) ).

Примечание . Эффективная годовая ставка, рассчитанная с помощью функции ЭФФЕКТ() , дает значение 16,075%. При ее расчете не используются размеры фактических платежей, а лишь номинальная ставка и количество периодов капитализации. Если грубо, то получается, что в нашем частном случае (без дополнительных платежей) отличие эффективной ставки по кредиту от номинальной (15%) в основном обусловлено наличием периодов капитализации (самой сутью сложных процентов).

Примечание . Сравнение графиков погашения дифференцированными платежами и по аннуитетной схеме .

Примечание. Эффективную ставку по кредиту можно рассчитать и без функции ЧИСТВНДОХ() - с помощью Подбора параметра. Для этого в файле примера на Листе Кредит создан столбец I (Дисконтированный денежный поток (для Подбора параметра)). В окне инструмента Подбор параметра введите значения указанные на рисунке ниже.

После нажатия кнопки ОК, в ячейке I18 будет рассчитана Эффективная ставка совпадающая, естественно, с результатом формулы ЧИСТВНДОХ() .

Открывая депозит в банке, клиентам стоит обращать внимание не только на размер процентной ставки, но также и на порядок начисления и выплаты процентов, чтобы не только реализовать свою сберегательную стратегию, но и получить максимальный доход. Ведь в действительности эффективная ставка по вкладу может превышать номинальную.

Банки используют два способа выплаты процентов по депозиту - с капитализацией (сложный) и без (простой). По депозитам с простым процентом доход начисляется на другой счет клиента, например карточный или до востребования, и не прибавляется к телу вклада. Проценты могут выплачиваться в конце срока, ежеквартально, ежегодно, ежемесячно или раз в полгода.

Второй вариант - капитализация процентов, или сложный процент, - предусматривает присоединение процентов, которые начисляются, как правило, ежеквартально или ежемесячно к телу вклада. Таким образом, каждое последующее начисление становится больше предыдущего, в результате чего общая доходность по вкладу возрастает.

Любой клиент, используя соответствующие формулы, может самостоятельно посчитать, сколько средств банк должен начислить по вкладам. Впрочем, как на сайтах многих кредитных организаций, так и на сайте Банки.ру и без самостоятельных расчетов выяснить, каким будет доход по вкладам - и с капитализацией, и с простыми процентами.

Очевидно, что при одной и той же номинальной ставке, например 10% годовых, доход по вкладу с капитализацией окажется выше, чем по депозиту с простым процентом. Скажем, доходность годового вклада на сумму 700 000 рублей с ежемесячной капитализацией составит 73 299 рублей, с ежеквартальной - 72 669, с начислением процентов в конце срока - 70 000.

Вот другой пример. Периодичность выплаты процентов по вкладу «Плановый доход» в банке «Глобэкс» - каждые 30 дней. По выбору вкладчика начисленные проценты перечисляются на текущий/карточный счет (простые проценты) либо причисляются к сумме вклада (капитализация - сложные проценты). Базовая ставка по этому вкладу на срок 360 дней и на сумму 100 000 рублей равна 7,75% годовых. За время действия депозита банк начислит 7 643,88 рубля. Эффективная ставка при капитализации процентов составит уже 8,03% годовых, сумма процентов −7 920 рублей.

Еще один пример: депозит «Доступный» в Юниаструм Банке на сумму 50 000 рублей сроком 12 месяцев под 7,5% годовых. Если клиент за весь срок не пополнял и не отзывал часть вклада (что предусмотрено по условиям договора), то в конце срока ему начислят при капитализации процентов 3 880 рублей 61 копейку; при ежемесячном перечислении на текущий счет - 3 749 рублей 11 копеек.

Вице-президент ВТБ 24 Юлия Деменюк считает, что клиентам, не предполагающим снимать проценты в течение срока вклада, стоит выбирать депозиты с капитализацией, так как эффективная процентная ставка по ним будет выше номинальной. Однако ощутимое различие между эффективной ставкой и номинальной будет только при условии, что средства пролежали длительный период времени и проценты по вкладу уплачиваются с определенной периодичностью (например, ежемесячно). Тем же, кто хочет получать на руки ежемесячный или ежеквартальный доход, лучше воспользоваться депозитами, по которым проценты перечисляются на другой счет (без капитализации).

Разница между номинальными и реальными ставками может быть довольно существенной (например, 0,5-1 процентный пункт) и зависит от того, ежемесячно или ежеквартально банк проводит капитализацию процентов. Например, в ВТБ 24 разница между номинальной и эффективной ставкой по рублевым вкладам - в среднем 0,57 процентного пункта, по валютным - до 0,35 пункта; в банке «Глобэкс» по трехлетнему рублевому вкладу разница может составлять 1,2 пункта. Отметим, что в договоре банки указывают только номинальную ставку.

Бывают случаи, когда клиенты не согласны с размером начисленных процентов. По мнению банкиров, в основном это связано с недопониманием того, как рассчитывается налогообложение. Это сейчас ставки достаточно низкие, а полтора-два года назад многие банки предлагали проценты, которые заметно превышали ставку рефинансирования плюс 5%.

«Если вы считаете, что по вкладу вам начислили меньше средств, чем должны были, нужно написать претензию в банк, - говорит начальник отдела депозитных и комиссионных продуктов Промсвязьбанка Мария Плоткина. - Клиенту желательно обосновать свою позицию, в частности привести собственные расчеты. Банк либо предоставит разъяснения, почему он начислил именно такую сумму, либо, если ошибка в расчетах имела место, начислит вкладчику недополученный доход».

Центробанк требует от кредитных организаций ежедневно начислять проценты по вкладам, формально так и происходит - согласно внутрибанковским операциями. Зачисляет же банк проценты де-факто на счет клиента согласно условиям договора.

Выплату процентов банки могут привязать ко дню заключения договора. Например, вклад был открыт 5 февраля, соответственно 5 марта будут начислены проценты (если предусмотрена ежемесячная выплата). «Если день выплаты процентов оказывается выходным, тогда выплата процентов происходит в следующий за ним первый рабочий день, - объясняет начальник отдела банковских продуктов банка «Глобэкс» Ирина Волис. - Например, 30 января - это воскресенье. Значит, проценты будут начислены по 31 января включительно и будут выплачены клиенту 31 января. А в следующем расчетном периоде на один календарный день окажется меньше».

Никаких различий в налогообложении вкладов с простыми процентами и с капитализацией нет. Согласно статье 214.2 Налогового кодекса, доходы частных вкладчиков (резидентов) облагаются налогом в размере 35%, если ставка по рублевому депозиту превышает размер ставки рефинансирования ЦБ плюс 5% (то есть выше 13%), а по валютному, если ставка выше 9% годовых. «Для налогообложения важна только номинальная ставка по вкладу, которая указана в договоре. Даже если эффективная ставка выше 13% (или 9% по валютным депозитам), то налогообложению она не подлежит, - уточняет Деменюк. - Налогообложение производится в момент выплаты процентов по вкладу. Клиент получает проценты за вычетом налога. Банки выступают налоговыми агентами и обязаны взимать налоги с клиента».

Исходя из данных базы вкладов Банки.ру, сейчас в российских кредитных организациях нет ставок выше 12% годовых по рублевым депозитам. Что касается валютных вкладов, то максимальная ставка составляет 9% годовых.

До недавнего времени некоторые банки предлагали 10% годовых по депозитам в валюте. Предположим, что вклад открыт резиденту сроком на 181 день (6 месяцев) на сумму 10 000 долларов.

Вариант 1. Начисление и выплата процентов в конце срока по ставке 10% на сумму 10 000 долларов. Сумма начисленных процентов - 495,89 доллара. Сумма удержанного налога - 17,36 доллара. Сумма к выдаче - 10 478,53 доллара.

Вариант 2. Начисление и выплата процентов проходит ежемесячно по ставке 10%, сумма вклада при открытии - 10 000 долларов. Сумма начисленных процентов - 505,18 доллара. Сумма ежемесячно удержанного налога - 17,67 доллара. Сумма к выдаче - 10 487,51 доллара.

Расчет приблизительный, потому как при исчислении налога на доходы по матвыгоде сумма в валюте умножается на курс ЦБ, установленный на дату проведения операции, и округляется. Отчисление в бюджетную систему осуществляется в рублях.

Положим, ставка по рублевому вкладу равна 15%. Сумма вклада - 100 000 рублей. Срок - 365 дней. Процентный доход - 15 000 рублей. Считаем с учетом 7,75+5 =12,75%: 100 000*12,75%*365/365 = 12 750. Налогообложению по ставке 35% подлежит разница 15 000-12 750=2 250 рублей. Итого налог к уплате - 2250*35% =787,5 рубля.

Вне зависимости от того, как снизилась ставка рефинансирования во время действия вклада, для депозитов сроком до трех лет важно только то, какая ставка ЦБ была на момент заключения или пролонгации договора. Если в этот момент банк предлагал ставку, не подпадающую под налогообложение, то и платить государству ничего не придется.

Наталья РОМАНОВА, сайт

Расчет процентов по вкладу*

Расчет процентов по вкладу по формуле простых процентов

Расчет делается по формуле простых процентов, если проценты начисляются один раз в конце срока вклада:

S = K + (K*P*d/D)/100,
Sp = (K*P*d/D)/100,

где:
Sp - сумма процентов (доход),
K - первоначальная сумма вклада (капитал),
d - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D - количество дней в календарном году (365 или 366).

Расчет процентов по вкладу по формуле сложных процентов

Расчет делается по формуле сложных процентов, если они начисляются на вклад с последующим зачислением на общую сумму депозита (процент на процент):

S = K * (1 + P*d/D/100) N ,

где:
S - сумма вклада с процентами,
К - первоначальная сумма вклада (капитал),
P - годовая процентная ставка,

Сумма процентов (доход) на вклад:

Sp = S - K = K * (1 + P*d/D/100) N - K

Sp = K * ((1 + P*d/D/100) N - 1).

Расчет эффективной процентной ставки по вкладу

Чтобы сравнить доходность вкладов с разной процентной ставкой и на разные сроки при начислении сложного процента, удобно уметь вычислять эффективную процентную ставку в годовом исчислении. Т. е. рассчитать, сколько процентов к начальному вкладу мы получим через год с учетом начисления процентов на процент:

P1 = 100 * ((1+P*d/365/100) N -1),

где:
P - годовая процентная ставка,
d - количество дней в периоде начисления,
N - число периодов начисления процентов.

Пример 1 . Расчет эффективной процентной ставки для вклада на один месяц с годовой ставкой 11%:
100 * ((1+11*30/365/100) 12 -1) = 11,41%.

P = 11,
d = 30,
N = 12.

Пример 2 . Расчет эффективной процентной ставки для вклада на три месяца с годовой ставкой 11%:
100 * ((1+11*90/365/100) 4 -1) = 11,3%.

P = 11,
d = 90,
N = 4.

* Формулы предоставлены Юниаструм Банком.

Дорогие посетители портала Банки.ру! Ждем ваши идеи - о чем бы вам хотелось прочитать в рубрике «Тема дня». Предложения можно оставить в разделе

После того, как Центробанк РФ обязал коммерческие банки раскрывать эффективную процентную ставку (ЭПС) по кредитам, это словосочетание прочно вошло в лексикон наших соотечественников. Меж тем, мало кто из них знает, что это такое. Данная статья призвана заполнить такой досадный пробел в знаниях, а также раскрыть один из приемов вычисления ЭПС.

Собственно, смысл эффективной процентной ставки достаточно прост — она призвана отражать реальную стоимость кредита с точки зрения заемщика, то есть учитывать все его побочные выплаты, непосредственно связанные с кредитом (помимо платежей по самому кредиту). Например, такими побочными выплатами являются печально известные «скрытые» банковские комиссии — комиссии за открытие и ведение счета, за прием в кассу наличных денег и т.п. Другой пример: если вы берете автокредит, то банк обязует вас страховать приобретаемый автомобиль на протяжении всего срока кредитования. При этом страховка будет являться для вас обязательной побочной выплатой (правда, уже не самому банку, а страховой компании).

Что интересно, Центробанк, обязав коммерческие банки раскрывать эффективную процентную ставку по кредитам и даже предоставив формулу для ее расчета, не указал, какие конкретно платежи должны в этот расчет включаться. В результате разные банки придерживаются разных точек зрения на этот вопрос: многие, например, не включают в расчет как раз страховые выплаты.

Тем не менее, наиболее правильным и справедливым выглядит подход, согласно которому в расчет эффективной процентной ставки включаются все платежи, которые являются обязательными для получения данного кредита. В частности, все обязательные страховые выплаты.

Разобравшись с этим вопросом, мы теперь можем дать строгое определение эффективной процентной ставки.

Эффективная процентная ставка — это сложная процентная ставка по кредиту, рассчитанная в предположении, что все платежи, необходимые для получения данного кредита, идут на его погашение.

То есть, если в результате получения кредита размером S 0 заемщик вынужден совершать платежи R 0 , R 1 , R 2 , ..., R n в моменты времени t 0 = 0, t 1 , t 2 , ..., t n соответственно (сюда входят как платежи по самому кредиту, так и побочные комиссии, страховые выплаты и т.п.), то эффективная процентная ставка i находится из соотношения

Если все платежи заемщика, за исключением, возможно, самого первого, одинаковы (R 1 = R 2 = ... = R n = R ), то в соответствии с формулой вычисления суммы конечной геометрической прогрессии соотношение для определения эффективной процентной ставки будет таким:

.

К сожалению, найти точное значение эффективной процентной ставки даже в таком сравнительно простом случае невозможно, поэтому приходится его подбирать (лучше всего — при помощи специального численного метода). Как именно — об этом пойдет речь далее.

Пример.

Для кредита со следующими условиями:

• срок кредитования — 3 года;
• процентная ставка (будем обозначать ее j ) — 18% годовых;
• схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;
• комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;
• ежемесячная комиссия за ведение ссудного счета — 0,1% от суммы кредита

эффективная процентная ставка будет составлять 22,8%. Для проверки найдем значения всех переменных, присутствующих в формуле (3):

Подставляя эти значения в формулу (3), после сокращения на S 0 легко убеждаемся в справедливости равенства (если, конечно, пренебречь погрешностью округлений):

.

Общий метод вычисления ЭПС

Итак, мы уже отметили, что размер эффективной процентной ставки даже для относительно простых ссудных операций нельзя найти с помощью какой-либо формулы. На помощь здесь приходят так называемые численные методы , которые позволяют за конечное число шагов вычислить приближенное значение искомой величины с необходимой точностью.

Общий метод приближенного вычисления эффективной процентной ставки, который мы рассмотрим далее, может применяться для любой ссуды, платежи по которой совершаются через одинаковые промежутки времени. Его основу составляет численный метод Ньютона , суть которого, в общих чертах, заключается в следующем.

Допустим, нам нужно найти решение уравнения f (x ) = 0, где f (x ) — некоторая дифференцируемая функция. Тогда при определенных условиях последовательность чисел {x (k ) }, где самое первое значение x (0) выбирается самостоятельно, а каждое последующее находится по формуле

,

сходится к точному решению этого уравнения. Нам сейчас не важно, что это за условия, при желании информацию об ограничениях метода Ньютона можно легко отыскать.

Посмотрим теперь, как использовать этот метод для вычисления эффективной процентной ставки.

Введем новую величину v τ = (1 + i ) -τ , которая называется множителем дисконтирования для периода времени τ. С ее помощью формулу (2), представляющую собой общее соотношение для нахождения эффективной процентной ставки, можно переписать следующим образом:

.

Нахождение корня этого уравнения эквивалентно нахождению корня функции

.

Эта функция имеет только один положительный корень (нас интересуют только положительные корни), причем, он лежит в интервале (0, 1). Этот корень можно легко найти с помощью метода Ньютона, предварительно вычислив производную функции f (x ):

.

x (0) = 1, с помощью формулы (4) мы получим последовательность чисел x (k ) , сходящихся к точному значению v τ . Приближенное значение искомой эффективной процентной ставки находится из следующего соотношения:

(предполагается, что мы закончили вычисления на шаге с номером n ).

Пример

Найдем эффективную процентную ставку для ссуды размером S 0 = 1000 фунтов стерлингов Соединенного Королевства, выданной на год под простую процентную ставку j = 20%. Для погашения ссуды заемщиком были внесены следующие частичные платежи:

• R 1 = 600 фунтов стерлингов через 3 месяца (t 1 = ¼) после начала сделки;
• R 2 = 310 фунтов стерлингов через 9 месяцев (t 2 = ¾) после начала сделки;
• R 3 = 194,25 фунтов стерлингов через год (t 3 = 1) после начала сделки.

В качестве периода времени τ выберем один квартал (τ = ¼). В соответствии с описанным выше методом, введем вспомогательную функцию

f (x ) = 600 x + 310 x 3 + 194,25 x 4 - 1000

и найдем ее производную:

f (x ) = 600 + 930 x 2 + 777 x 3 .

Теперь, выбрав в качестве начального приближения x (0) = 1, с помощью формулы (4) построим последовательность приближенных значений дисконтирующего множителя v τ и эффективной процентной ставки i :

k	x (k )	i
0	1	i ≈ 0
1	0,95481144343303	i ≈ 0,20317704736717
2	0,95284386714354	i ≈ 0,21314588059674
3	0,95284030323558	i ≈ 0,2131640308135
4	0,95284030322392	i ≈ 0,21316403087292
5	0,95284030322392	i ≈ 0,21316403087292

Уже на пятом шаге расчет привел к тому же результату, что и на предыдущем, причем с точностью, которая вам вряд ли когда-нибудь сможет понадобиться. Полученный результат более чем на 1,3% превышает заявленную (номинальную) процентную ставку по ссуде, хотя здесь не было ни скрытых комиссий, ни каких-либо других дополнительных выплат.

Замечание. Лучший способ быстро произвести расчет эффективной процентной ставки (не имея под рукой специального финансового калькулятора или компьютерной программы) — это воспользоваться каким-нибудь табличным редактором. Например, в онлайновом табличном редакторе Google весь расчет выглядит примерно следующим образом:

Рис. Вычисление эффективной процентной ставки с помощью табличного редактора

Обратите внимание на следующие моменты:

1. В табличном редакторе не нужно вручную вычислять коэффициенты при степенях x для производной — они могут быть найдены по формуле, как показано на первом рисунке.
2. С помощью функции SERIESSUM (второй рисунок) можно легко вычислять значения как самой функции f (x ), так и ее производной.

Пример

Разберем теперь более сложный, но более актуальный пример.

Кредит размером 24 тысячи евро, выданный на два года под 12% годовых, погашается ежемесячными платежами в соответствии с дифференцированной схемой . Комиссия за организацию кредита составляет 1% от его суммы. Кроме того, каждый месяц с заемщика взимается комиссия за ведение ссудного счета размером 0,1% от суммы кредита. Нам нужно найти эффективную процентную ставку по данному кредиту.

Прежде всего, построим график погашения кредита (без учета структуры платежей). Платежи в счет погашения кредита образуют арифметическую прогрессию с начальным членом

A 1 = ( + 0,12 × ) × 24 000 = 1240 евро

и разностью

- (0,12 × × 24 000) × = - 10 евро.

Кроме того, при получении кредита заемщик был вынужден заплатить 0,01 × 24 000 = 240 евро, а каждый месяц с него взимается комиссия размером 0,001 × 24 000 = 24 евро. Значит, график платежей по кредиту имеет следующий вид:

Рис. График платежей по кредиту

Значения столбца «с комиссией, Rk », за исключением самого первого (с индексом 0), совпадают с коэффициентами при степенях x у функции f (x ), которую мы будем использовать в расчетах. Для получения первого коэффициента (при нулевой степени x ) нужно из начального платежа R 0 = 240 вычесть размер кредита (формула в левом верхнем углу):

Рис. Нахождение коэффициентов функции f(x)

Коэффициенты при степенях x у производной f "(x ) находятся по уже известному нам принципу:

Рис. Нахождение коэффициентов производной f"(x)

Теперь, наконец, можно применить метод Ньютона для нахождения месячного множителя дисконтирования (формула в левом верхнем углу):

Рис. Нахождение месячного множителя дисконтирования

Одновременно с вычислением месячного множителя дисконтирования определяем саму эффективную процентную ставку i :

Рис. Нахождение эффективной процентной ставки

Как и в примере из предыдущего параграфа, метод Ньютона привел нас к окончательному ответу всего лишь за пять вычислений: эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту приближенно равна 16,38%, на 4,38% больше, чем номинальная ставка.

Вычисление ЭПС для аннуитета

Метод, который мы рассмотрели выше, при правильном его применении, достаточно удобен. Но в определенных случаях, а именно, для аннуитетной схемы погашения кредита, эффективную процентную ставку можно найти еще быстрее и проще. Собственно, основное преимущество метода, который мы рассмотрим далее, заключается в его большей компактности.

Перепишем формулу (3) — соотношение для определения эффективной процентной ставки, которое справедливо при погашении кредита аннуитетными платежами — с помощью уже знакомого нам множителя дисконтирования v τ = (1 + i ) -τ :

Для нахождения корня уравнения (6) можно использовать уже знакомый нам метод Ньютона.Для этого введем функцию

и найдем ее производную:

.

Теперь, если в качестве начального приближения выбрать

,

то с помощью формулы (4) можно получить последовательность чисел {x (k ) }, приближающихся к точному значению множителя дисконтирования v τ .

Пример

Найдем эффективную процентную ставку для кредита из самого первого примера. Условия, напомню, были такие:

• срок кредитования — 3 года;
• процентная ставка j — 18% годовых;
• схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;
• комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;
• ежемесячная комиссия за ведение ссудного счета — 0,1% от суммы кредита.

Вычислять эффективную процентную ставку по этому кредиту, по-прежнему, будем с помощью какого-нибудь удобного табличного редактора. Вот так приблизительно будут выглядеть начальные условия (нет необходимости вручную вычислять размеры платежей — можно использовать нужные формулы непосредственно в ячейках таблицы):

Рис. Внесение начальных условий

Следующий шаг — это вычисление коэффициентов функции f (x ):

Рис. Вычисление коэффициентов функции f (x )

Первый коэффициент по совместительству является начальным приближением x (0) . Переносим его в соответствующую ячейку и по методу Ньютона вычисляем несколько приближений месячного множителя дисконтирования (обратите внимание на формулу в левом верхнем углу):

Рис. Вычисление месячного множителя дисконтирования

Одновременно с этим вычисляем приближенные значения эффективной процентной ставки i :

Рис. Вычисление эффективной процентной ставки

Как видите, после восьми вычислений мы еще раз подтвердили, что эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту составляет около 22,8%, на 4,8% больше, чем номинальная.

Замечание. Один раз заполнив формочку, подобную приведенной на рисунках, вы впоследствии сможете моментально определять эффективную процентную ставку по любому кредиту, погашаемому в соответствии с аннуитетной схемой, только лишь меняя начальные условия.

В заключение хочется сделать еще одно важное общее замечание. Рассмотренный нами метод гарантированно сойдется (то есть приведет к искомым значениям множителя дисконтирования и эффективной процентной ставки), если в качестве начального значения выбрать величину (7). Если же взять какое-нибудь другое начальное приближение, то метод может сойтись ко второму корню функции f (x ) — единице (соответствующее значение эффективной процентной ставки равно нулю). Например, в рассмотренном нами примере так произошло бы, возьми мы в качестве начального приближения любое число больше 0,992.

И еще одно общее замечание относительно выбора численного метода. Существует великое множество численных методов, многие из которых вполне можно было бы применить для решения наших задач. Метод Ньютона был выбран из-за его, на мой взгляд, оптимального соотношения между сложностью применения и скоростью сходимости (вы ведь помните, мы ни в одном из примеров не делали больше восьми вычислений). Существуют более быстрые, но более сложные для понимания методы. Существуют более простые методы, с меньшим количеством ограничений и гарантированной сходимостью, но требующие большого количества вычислений. Например, если бы мы в последнем примере использовали широко известный метод простой итерации , то для достижения требуемой точности нам пришлось бы сделать около сотни вычислений. Понятно, что эти вычисления делает программа, но тем не менее.

Простые формулы для расчета эффективной ставки по вкладу

Банковские вклады на сегодняшний день являются надежным инструментом сохранения сбережений. Однако далеко не всегда вкладчики умеют рассчитывать эффективную ставку по депозитам с разными условиями начисления и выплаты процентов. Учимся правильно вычислять свой доход по вкладу.

Вклады без капитализации процентов

Порядок начисления процентов рассчитывается всего по двум формулам - сложной и простой в зависимости от того, есть ли у вклада капитализация или нет. Для расчета нам понадобятся следующие обозначения: начальная сумма вклада - Р, годовая процентная ставка - I, количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу - T, количество дней в календарном году - К, количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов - J, количество периодов капитализации (месяца, кварталы) - N, сумма начисленных процентов - S.

В качестве примера возьмем ситуацию: вкладчик открыл счет на 100 тыс. руб. под 16% годовых на 367 дней (1 год). Эти значения мы и будем подставлять во все последующие формулы.

Проценты в конце срока

Для расчета дохода по вкладу с выплатой процентов в конце срока подойдет простая формула: S = P x (1 + I x T/K x 100) . Подставляем в нее необходимо подставить соответствующие значения: S = 100 000 x (1 + 16×367/365×100) = 100 000×1,160 = 116 000 руб.

Вклады с капитализацией процентов

Проценты ежемесячно

Для вкладов, по которым клиент будет получать начисление процентов ежемесячно с последующим причислением процентов к сумме вклада, применима формула так называемого «сложного процента». Подставляем наши значения в формулу: S = P x (1 + I x J/100 x K)^N . Получается, что доход по вкладу с учетом ежемесячной капитализацией составит 16 973 руб., а общая сумма - 116 973 руб. соответственно.

Проценты поквартально

В данном случае нам необходимо вести расчеты по аналогии с первым примером, учитывая количество кварталов в сроке, на который открывается вклад, и количество дней в одном квартале, а именно 90 дней. С теми же параметрами наша формула будет выглядеть так: S = 100 000 x (1 + 16×90/36 500)^4 = 100 000×1,167 = 116 739 руб.

Лестничные вклады

В отличие от вкладов с фиксированной ставкой, лестничные вклады имеют так называемые плавающие проценты, когда ставка меняется в зависимости от процентного периода. Для примера возьмем те же 100 тыс. руб. в качестве начальной суммы вклада, которые положим на срок 367 дней. Обычно за такой срок проценты меняются три-четыре раза: с 1 по 90 день ставка составит 20%, с 91 по 180 - 16%, с 181 - 270 - 15%, с 271 - 367 - 14%.

Сначала считаем количество процентов, которые вкладчик получит за каждый период действия вклада. Для этого ставку, соответствующую периоду, разделим на количество дней в году и умножим на количество дней, которое действует указанная ставка). Подставив значения видим, что за первый период вкладчик получит 4,9%, за второй - 3,8%, за третий - 3,6%, и за четвертый - 3,6%.

В итоге эффективная ставка по вкладу за весь срок составляет 15,9%. Для расчета конечного дохода возвращаемся к формуле простого процента, без учета капитализации. Конечный доход по нашему вкладу составит 15 987 руб. Если же у лестничного вклада присутствует капитализация, то рассчитываем ее по формуле сложного процента: S = 100 000 x (1 + 15,9×30/36 500)^12 = 100 000×1,168 = 116 859 руб.

Можно сделать вывод, что самыми выгодными депозитами являются те, у которых есть капитализация процентов, и чем за меньший срок она начисляется, тем больший доход в итоге получит вкладчик. Поэтому при выборе вклада обязательно обращайте внимание не только на размер процентной ставки, но и на дополнительные условия по вкладу , в частности, на порядок начисления процентов.

Федеральное законодательство обязывает банки доводить до сведения клиента чему полная стоимость ссуды (эффективная процентная ставка) равна и как она рассчитана, поэтому осведомлённость россиян в этом вопросе достаточно высока. Но что значит эффективная процентная ставка по депозиту и чем она отличается от номинальной, понимает отнюдь не каждый вкладчик. А ведь знание того, как рассчитывается эффективная процентная ставка, вовсе не будет лишним при оформлении депозитов с капитализацией и оценке банковской рекламы вкладов.

Предложения месяца:

Дебетовые карты

Кредитные карты

Микрозаймы

Потребительские кредиты

Посмотреть ещё

Посмотреть ещё

Посмотреть ещё

Что значит номинальная и эффективная процентная ставка

Для простых депозитов с выплатой дохода в конце срока эффективная процентная ставка по формуле расчёта не отличается от номинальной. Номинальная ставка – это процент, который указывается банком в договоре и основных условиях программы.

По вкладам с капитализацией дохода эффективная годовая процентная ставка, формула которой приведена ниже, рассчитывается особым образом. Она позволяет учесть тот факт, что на уже начисленные доходы также будут начисляться проценты.

Знать, как считается эффективная процентная ставка, нужно только в том случае, если в банке размещается крупная сумма средств на долгий срок. По краткосрочным или небольшим вкладам номинальная и реальная ставки особо не отличаются.

Годовая ставка по вкладу с капитализацией: как рассчитать доход

Для клиента, который хочет сравнить предложения нескольких банков, вовсе необязательно знать, как считается эффективная процентная ставка. Ему достаточно вычислить положенные в каждом случае по вкладу с капитализацией выплаты в рублях.

Каким образом насчитывается доход по депозиту с причислением процентов, мы в деталях рассматривали ранее с указанием соответствующих формул. Увидеть их можно в статье «Расчет вкладов с ежемесячной капитализацией» и «Расчет начислений процентов по вкладу».

Что под эффективной ставкой понимается: методы рекламы банка

В рекламе не всегда под эффективной процентной ставкой понимается реальный процент, который получит клиент. Например, по «лестничным» депозитам ставка со временем может понижаться/повышаться, а банк большими буквами в условиях программы прописывает самый высокий процент.

Например, по лестничному трёхлетнему пенсионному вкладу СКБ-Банка доходы начисляются под 5,5%, 3,5% и 2,5% в первый, второй и третий года срока депозитного договора. Реальная ставка составляет при этом 3,85%, а финучреждение в рекламе на сайте всё равно указывает «5,5%».

Чему равна эффективная процентная ставка: формула расчета

Для того чтобы найти эффективную процентную ставку, необходимо знать номинальный процент по депозиту, а также его параметры. При расчётах учитывается с какой периодичностью будут капитализироваться доходы.
Формула расчета эффективной процентной ставки по вкладу выглядит следующим образом:
P1 = ((1 + P/100/N/)N*m – 1),
где:
P – ставка по депозиту
N – число периодов капитализации в год (если она осуществляется ежемесячно, то N=12; ежеквартально – N равно 4)
m – число повторений периодов (по вкладу на год m=1, на два года m=2 и т. д.).
Так, реальная эффективная процентная ставка по годому вкладу, который открывается под 7% с капитализацией дохода раз в месяц, вычисляется по следующей формуле:
P1 = ((1 + 7/100/12/)12*1 – 1) = 7,228% годовых.

Найти реальную процентную ставку по депозиту: калькулятор

Без использования рассмотренной формулы (метода) эффективной процентной ставки никак не рассчитать. Клиентам, пытающимся вычислить, насколько различаются номинальная и эффективная процентная ставка, калькулятор на сайте банка не поможет. Но финучреждение может самостоятельно указать заранее рассчитанную доходность годового депозита с учётом его капитализации.

Некоторые веб-ресурсы предлагают сложные онлайн-калькуляторы, с чьей помощью возможен расчет эффективной процентной ставки по депозиту за несколько минут с учётом пополнения счёта.